Question

如圖①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于點E．
（1）如果∠A=60°，∠ABC=50°，求∠E的度數(shù)；
（2）猜想：∠E與∠A有什么數(shù)量關(guān)系；（寫出結(jié)論即可）
（3）如圖②，點E是△ABC兩外角平分線BE、CE的交點，探索∠E與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：此類題運用三角形的內(nèi)角和定理及其推論，和角平分線的定義即可解決．

解答：解：（1）根據(jù)外角的性質(zhì)得∠ACD=∠A+∠ABC=60°+50°=110°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠1=

1

2

∠ACD=55°，∠2=

1

2

∠ABC=25°
∵∠E+∠2=∠1，
∴∠E=∠1-∠2=30°；

（2）猜想：∠E=

1

2

∠A；

（3）∵BE、CE是兩外角的平分線，
∴∠2=

1

2

∠CBD，∠4=

1

2

∠BCF，
而∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠2=

1

2

（∠A+∠ACB），∠4=

1

2

（∠A+∠ABC）．
∵∠E+∠2+∠4=180°，
∴∠E+

1

2

（∠A+∠ACB）+

1

2

（∠A+∠ABC）=180°，
即∠E+

1

2

∠A+

1

2

（∠A+∠ACB+∠ABC）=180°．
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠E+

1

2

∠A=90°．

點評：特別注意此題中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，充分運用三角形的內(nèi)角和定理及其推論結(jié)合三角形的角平分線概念導(dǎo)出：圖①中，∠E=

1

2

∠A；圖②中，∠E=90°-

1

2

∠A．