Question

（2011•犍為縣模擬）如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA與雙曲線y=

k

x

（k≠0）在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，若OB=4，tan∠AOB=

1

2

．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）直線AC與y軸交于點(diǎn)C（0，1），與x軸交于點(diǎn)D，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正切的定義得到

AB

OB

=

1

2

，而OB=4，得到AB=2，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），然后把A（4，2）代入y=

k

x

即可求出k，從而確定雙曲線的解析式；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后確定D點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)勾股定理計(jì)算出AD的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵AB⊥x軸，OB=4，tan∠AOB=

1

2

，
∴

AB

OB

=

1

2

，
∴AB=2，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），
把A（4，2）代入y=

k

x

得，k=4×2=8，
∴雙曲線的解析式為y=

8

x

；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（4，2）、C（0，1）代入得，4k+b=2，b=1，解得k=

1

4

，b=1，
∴直線AC的解析式為y=

1

4

x+1，
令y=0，則

1

4

x+1=0，解得x=-4，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），
在Rt△ABD中，AB=2，BD=8，
∴AD=

AB2+BD2

=

22+82

=2

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：先利用幾何條件確定反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式，然后利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題．也考查了勾股定理．