Question

某學(xué)校活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時，經(jīng)歷了如下過程：
●操作發(fā)現(xiàn)：
在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是______（填序號即可）
①AF=AG=AB；②MD=ME；③整個圖形是軸對稱圖形；④∠DAB=∠DMB．
●數(shù)學(xué)思考：
在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD與ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程；
●類比探究：
在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．答：______．

Answer 1

【答案】分析：操作發(fā)現(xiàn)：由條件可以通過三角形全等和軸對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
數(shù)學(xué)思考：作AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，從而得出△DFM≌△MGE，根據(jù)其性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
類比探究：作AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)K可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
解答：解：●操作發(fā)現(xiàn)：
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD=CE，AD=AE，
∵DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，
∴AF=BF=DF=AB，AG=GC=GE=AC．
∵AB=AC，
∴AF=AG=AB，故①正確；
∵M是BC的中點，
∴BM=CM．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，
即∠DBM=∠ECM．
∵在△DBM和△ECM中

∴△DBM≌△ECM（SAS），
∴MD=ME．故②正確；
連接AM，根據(jù)前面的證明可以得出將圖形1，沿AM對折左右兩部分能完全重合，
∴整個圖形是軸對稱圖形，故③正確．
∵AB=AC，BM=CM，
∴AM⊥BC，
∴∠AMB=∠AMC=90°，
∵∠ADM=90°，
∴四邊形ADBM四點共圓，
∴∠AMD=∠ABD=45°．
∵AM是對稱軸，
∴∠AME=∠AMD=45°，
∴∠DME=90°，
∴MD⊥ME，故④正確，
故答案為：①②③④

●數(shù)學(xué)思考：
MD=ME，MD⊥ME．
理由：作AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，
∴AF=AB，AG=AC．
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF=AB，EG⊥AC，EG=AC，
∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．
∵M是BC的中點，
∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四邊形AFMG是平行四邊形，
∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．
∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，
∴∠DFM=∠MGE．
∵在△DFM和△MGE中，
，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM=ME，∠FDM=GME．
∵MG∥AB，
∴∠GMH=∠BHM．
∵∠BHM=90°+∠FDM，
∴∠BHM=90°+∠GME，
∵∠BHM=∠DME+∠GME，
∴∠DME+∠GME=90°+∠GME，
即∠DME=90°，
∴MD⊥ME．
∴DM=ME，MD⊥ME；

●類比探究：
∵點M、F、G分別是BC、AB、AC的中點，
∴MF∥AC，MF=AC，MG∥AB，MG=AB，
∴四邊形MFAG是平行四邊形，
∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°
∴MF=EG，DF=MG，∠AFM-∠AFD=∠AGM-∠AGE，
即∠DFM=∠MGE．
∵在△DFM和△MGE中
，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME，∠MDF=∠EMG．
∵MG∥AB，
∴∠MHD=∠BFD=90°，
∴∠HMD+∠MDF=90°，
∴∠HMD+∠EMG=90°，
即∠DME=90°，
∴△DME為等腰直角三角形．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，三角形的中位線的性質(zhì)的運用，直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)的運用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運用，解答時根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)制造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．