Question

如圖①，已知等腰直角△ABC中，BD為斜邊上的中線，E為DC上的一點，且AG⊥BE于G，AG交BD于F．
（1）求證：AF=BE；
（2）如圖②，若點E在DC的延長線上，其它條件不變，①的結(jié)論還能成立嗎？若不能，請說明理由；若能，請予以證明．

Answer 1

分析：（1）首先證明AD=BD，再證明∠DAF=∠DBE，可利用ASA定理判定△AFD≌△BED，進而得到AF=BE；
（2）方法與（1）類似，證明△AFD≌△BED（AAS）可得AF=BE．

解答：證明：（1）∵△ABC是等腰三角形，BD為斜邊上的中線，
∴BD=AD=

1

2

AC，∠ADB=90°，
∴∠1+∠GAD=90°，
∵AG⊥BE于G，
∴∠2+∠DBE=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠DAF=∠DBE，
在△AFD和△BED中，

∠ADB=∠BDE AD=BD ∠DAG=∠DBE

，
∴△AFD≌△BED（SAS），
∴AF=BE；

（2）①的結(jié)論還能成立；
∵△ABC是等腰三角形，BD為斜邊上的中線，
∴BD=AD=

1

2

AC，∠ADB=90°，
∴∠DBE+∠DEB=90°，
∵AG⊥BE于G，
∴∠GBF+∠F=90°，
∵∠DBE=∠GBF，
∴∠F=∠DEB，
在△AFD和△BED中，

∠DEB=∠F ∠BDF=∠ADF=90° AD=BD

，
∴△AFD≌△BED（AAS），
∴AF=BE；

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．