Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一拋物線的對稱軸為直線x=1，與y軸負(fù)半軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)G（2，-3）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AEG的面積最大？求出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)和△AEG的最大面積；
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)（其中點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，且B（3，0），
∴A（-1，0）；
可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-3）（x+1），則有：
（-3）×1×a=-3，a=1；
∴y=x²-2x-3

（2）當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到時(shí)有最大面積，最大面積是，理由如下：
過E作EF⊥x軸于F，過G作GH⊥x軸于H；
設(shè)E（x₀，y₀），則F（x₀，0），EF=-（x₀²-2x₀-3）
因?yàn)镚（2，-3）所以GH=3
，S_△AGH==

所以S_△AGE=
當(dāng)時(shí)，有最大值為；（7分
將代入y=x²-2x-3，
得；
所以E；

（3）存在，Q（1，0）或（）或（）理由如下
因?yàn)镸N平行與x軸，
所以M、N關(guān)于x=1對稱
①若NQ=QM，則Q必在MN的中垂線即對稱軸x=1上，所以Q（1，0）
②若QN=MN，則∠QMN=90°，設(shè)M（m₁，n₁）
則有：N（2-m₁，n₁），MN=m₁-（2-m₁）=2m₁-2
QN=|n₁|，
所以|n₁|=2m₁-2，其中n₁=m₁²-2m₁-3
同理若QM=MN，QM=|n₁|，n₁=m₁²-2m₁-3，
綜上可得|n₁|=2m₁-2
解得；
∴Q₁（，0），Q₂（-，0），Q₃（2+，0），Q₄（2-，0）．
綜上所述，存在符合條件的Q點(diǎn)，
且坐標(biāo)為：Q₁（，0），Q₂（-，0），Q₃（2+，0），Q₄（2-，0），Q₅（1，0）．
分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸方程及B點(diǎn)坐標(biāo)，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）可分別過E、G作x軸的垂線，設(shè)垂足為F、H；那么△AGE的面積=△AEF的面積+四邊形FHGE的面積-△AGH的面積，設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，即可表示出F點(diǎn)坐標(biāo)及EF的長，根據(jù)上面所得出的面積計(jì)算方法，可得出關(guān)于△AGE的面積與E點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)，即可求出△AGE的最大面積及對應(yīng)的E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分兩種情況討論：
①以MN為斜邊，則Q點(diǎn)在MN的垂直平分線上，即Q點(diǎn)為拋物線對稱軸與x軸交點(diǎn)，由此可得出Q點(diǎn)坐標(biāo)；
②以MN為直角邊；設(shè)出M、N的坐標(biāo)，可表示出MN的長，由于△MNQ是等腰Rt△，則MN的長與M、N的縱坐標(biāo)的絕對值相同，由此可求出M、N的坐標(biāo)，也就求出了Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．