Question

【題目】如圖，已知拋物線y= （x+2）（x﹣4）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，M為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)動點(diǎn)N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小時n的值；
（3）P是拋物線上一點(diǎn)，請你探究：是否存在點(diǎn)P，使以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似（△PAB與△ABD不重合）？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得x1=﹣2，x2=4，

∴點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）

令x=0得y=﹣ ，

∴點(diǎn)C（0，﹣ ）

（2）

解：將x=1代入拋物線的解析式得y=﹣

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣ ）

∴點(diǎn)M關(guān)于直線x=﹣2的對稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（﹣5， ）

設(shè)直線M′B的解析式為y=kx+b

將點(diǎn)M′、B的坐標(biāo)代入得：

解得：

所以直線M′B的解析式為y= ．

將x=﹣2代入得：y=﹣ ，

所以n=﹣

（3）

解：過點(diǎn)D作DE⊥BA，垂足為E．

由勾股定理得：

AD= =3 ，

BD= ，

如下圖，①當(dāng)P1AB∽△ADB時，

即：

∴P1B=6

過點(diǎn)P1作P1M1⊥AB，垂足為M1．

∴ 即：

解得：P1M1=6 ，

∵ 即：

解得：BM1=12

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（﹣8，6 ）

∵點(diǎn)P1不在拋物線上，所以此種情況不存在；

②當(dāng)△P2AB∽△BDA時， 即：

∴P2B=6

過點(diǎn)P2作P2M2⊥AB，垂足為M2．

∴ ，即：

∴P2M2=2

∵ ，即：

∴M2B=8

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（﹣4，2 ）

將x=﹣4代入拋物線的解析式得：y=2 ，

∴點(diǎn)P2在拋物線上．

由拋物線的對稱性可知：點(diǎn)P2與點(diǎn)P4關(guān)于直線x=1對稱，

∴P4的坐標(biāo)為（6，2 ），

當(dāng)點(diǎn)P3位于點(diǎn)C處時，兩三角形全等，所以點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（0，﹣ ），

綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣4，2 ）或（6，2 ）或（0，﹣ ）時，以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似

【解析】（1）令y=0可求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，令x=0可求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短作M點(diǎn)關(guān)于直線x=﹣2的對稱點(diǎn)M′，當(dāng)N（﹣2，N）在直線M′B上時，MN+BN的值最小；（3）需要分類討論：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PB的長度，然后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．