Question

【題目】如圖甲，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC度數的大小和等邊三角形ABC的邊長．

①李明同學做了如圖乙的輔助線，將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，如圖乙所示，連接PP′，從而問題得到解決．你能說明其中理由并完成問題解答嗎？

②如圖丙，在正方形ABCD內有一點P，且PA＝，BP＝，PC＝1；求∠BPC度數的大小和正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】①見解析；②∠BPC的度數是135°，正方形ABCD的邊長是．

【解析】

①根據旋轉得出AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠AP′B＝∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP＝60°，得到等邊△BPP′，推出PP′＝PB＝，∠BP′P＝60°，求出∠AP′P＝90°，即可求出∠BPC；過點B作BM⊥AP′，交AP′的延長線于點M，由∠MP′B＝30°，求出BM＝，P′M＝，根據勾股定理即可求出答案；

②同理求出∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，根據勾股定理的逆定理求出∠AEP＝90°，推出∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；過點B作BF⊥AE，交AE的延長線于點F，求出FE＝BF＝1，AF＝2，根據勾股定理即可求出AB．

①∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝60°，

將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，如圖乙所示，連接PP′，

∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠AP′B＝∠BPC，

由旋轉得：∠P'BP＝∠ABC＝60°，

∴△BPP′是等邊三角形，

∴PP′＝PB＝，∠BP′P＝60°，

∵AP′＝1，AP＝2，

∴AP′2+PP′2＝AP2，

∴∠AP′P＝90°，

∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°，

過點B作BM⊥AP′，交AP′的延長線于點M，

∴∠MP′B＝30°，BM＝P'B＝，

由勾股定理得：P′M＝＝，

∴AM＝AP'+P'M＝1+＝，

由勾股定理得：AB＝＝＝，

②將△BPC繞點B逆時針旋轉90°得到△AEB，如圖丙，

與(1)類似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝，∠BPC＝∠AEB，

∴∠EBP＝∠ABC＝90°，

∴∠BEP＝45°，

由勾股定理得：EP＝2，

∵AE＝1，AP＝，EP＝2，

∴AE2+PE2＝AP2，

∴∠AEP＝90°，

∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°，

過點B作BF⊥AE，交AE的延長線于點F；

∴∠FEB＝45°，

∴FE＝BF＝1，

∴AF＝2；

∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝＝；

答：∠BPC的度數是135°，正方形ABCD的邊長是．