Question

在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（50，0），B（50，50），C（0，50）．若正方形OABC的內(nèi)部（邊界及頂點(diǎn)除外）一格點(diǎn)P（“格點(diǎn)”是指在平面直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）滿(mǎn)足S_△POA•S_△PBC=S_△PAB•S_△POC，就稱(chēng)P為“好點(diǎn)”．
（1）請(qǐng)你判斷：P（20，15）是“好點(diǎn)”嗎？
（2）求出正方形OABC內(nèi)部“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面積公式把點(diǎn)P（20，15）代入好點(diǎn)的條件，如果滿(mǎn)足，則點(diǎn)P是“好點(diǎn)”，如果不滿(mǎn)足，則點(diǎn)P不是“好點(diǎn)”；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入好點(diǎn)條件，求出x與y的關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式找出在正方形內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)的個(gè)數(shù)，就是“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）∵S_△POA•S_△PBC=

1

2

×50×15×

1

2

×50×35=25²×15×35，
S_△PAB•S_△POC=

1

2

×50×30×

1

2

×50×20=50²×30×20，
∴S_△POA•S_△PBC≠S_△PAB•S_△POC．
∴P（20，15）不是“好點(diǎn)”．

（2）設(shè)P（x，y），其中x，y均為正整數(shù)，且0＜x＜50，0＜y＜50．
由S_△POA•S_△PBC=S_△PAB•S_△POC，
得y（50-y）=x（50-x），即x²-y²-50x+50y=0，即（x-y）（x+y-50）=0．
∴x=y或x+y=50．
于是，點(diǎn)P在對(duì)角線OB或AC上．
故滿(mǎn)足條件的“好點(diǎn)”共有2×49-1=97（個(gè)）．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)正方形的性質(zhì)考查了“好點(diǎn)”，有新意，只要利用三角形的面積，根據(jù)“好點(diǎn)”的定義列式進(jìn)行計(jì)算即可判斷，難度不大．