Question

三項式x²-x-2n能分解為兩個整系數(shù)一次因式的乘積
（1）若1≤n≤30，且n是整數(shù)，則這樣的n有多少個？
（2）當(dāng)n≤2005時，求最大整數(shù)n

Answer 1

分析：（1）利用公式法求出x²-x-2n=0的根，將n從1至30代入開平方驗證，舍去不合題意得，得到最終n的取值及個數(shù)．
（2）觀察數(shù)列1，3，6，10，15，21，28，尋找規(guī)律，將基本規(guī)律的代數(shù)式代入求值．

解答：解：
（1）x²-x-2n=(x-

1+ 1+8n

2

)(x-

1- 1+8n

2

)（3分）
則應(yīng)有1+8n=9，25，49，81，121，169，225，289（7分）
相應(yīng)解得n=1，3，6，10，15，21，28，36（舍去）
故當(dāng)1≤n≤30時，滿足條件的整數(shù)n有7個（10分）
（2）觀察數(shù)列1，3，6，10，發(fā)現(xiàn)
1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4
故n=1+2+3+…+k≤2005
∴

(1+k)k

2

≤2005
驗證得當(dāng)k=62時，n取最大值為1953（20分）

點評：本題考查因式分解的應(yīng)用．解決（1）主要是通過公式法分解出因式，再將符合條件的n代入逐個驗證；（2）關(guān)鍵是觀察數(shù)列找到規(guī)律．