Question

已知拋物線y=-

1

2

x2-(n+1)x-2n(n＜0)經過點以點A（x₁，0）B（x₂，0），D（0，y₁），其中x₁＜x₂，△ABD的面積等于12．
（1）求這條拋物線的解析式及它的頂點坐標；
（2）如果點以C（2，y₂）在這條拋物線上，點P在y軸的正半軸上，且△BCP為等腰三角形，求直線PB的解析式．

Answer 1

分析：（1）可先根據拋物線的解析式表示出A、B的橫坐標，可得出AB的長，然后根據△ABD的面積為12，可求出n的值．即可求出拋物線的解析式，進而可求出頂點坐標．
（2）本題可分三種情況：
①PB=PC，設出P點的坐標，可根據坐標系兩點間的距離公式或通過直角三角形用勾股定理表示出PB和PC長，根據PB=PC的等量關系即可求出P點的坐標．
②當PB=BC，③當PC=BC同①．
求出P點坐標后即可求出直線PB的解析式．

解答：解：（1）根據題意，令y=0，整理，得
x²+2（n+1）x+4n=0（n＜0），
解得x₁=-2，x₂=-2n，
∴AB=|x₂-x₁|=2-2n，又OD=|y₁|=-2n．
∵S_△ABD=

1

2

AB•OD=12，
∴

1

2

（2-2n）（-2n）=12，
解得n=3（舍去），n=-2．
∴y=-

1

2

x²+x+4．
頂點坐標為（1，

9

2

）．

（2）∵點C（2，y₂）在這條拋物線上，D（0，4），
∴y₂=4，即C（2，4），
∴∠CDO=90°，
∴∠BOD=90°．
根據題意畫出示意圖
①如圖1，設P₁（0，m₁），滿足P₁B=P₁C，其中m₁＞0．由勾股定理得，
OB²+OP₁²=DP₁²+DC²，
即4²+m₁²=（4-m₁）²+2²，
解得m₁=

1

2

，
即P₁（0，

1

2

），符合題意，
直線P₁B的解析式為y=-

1

8

x+

1

2

．
②如圖2，設P₂（0，m₂），滿足P₂B=BC，其中m₂＞0．
由勾股定理得，
OB²+OP₂²=4²+2²，
即4²+m₂²=4²+2²，
解得m₂=-2（舍去），m²=2，
即P₂（0，2），符合題意，直線P₂B的解析式為y=-x+2．
③設P₃（0，m₃），滿足P₃C=BC，其中m₃＞0，由勾股定理得，
DP₃²+CD²=4²+2²，
即（4-m₃）²+2²=4²+2²，
解得m₃=0（舍去），m₃=8，
即P₃（0，8）．
直線P₃B的解析式為y=-2x+8，
∵C（2，4）在P₃B上，
∴P₃不符合題意，舍去．
綜上所述，直線PB的解析式為y=-

1

8

x+

1

2

，y=-x+2．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定、等腰三角形的判定等知識點．
（2）中要根據等腰三角形的腰和底的不同分類討論．