Question

如圖所示，在直角梯形OABC，CB，OA，∠OAB=90°，點O為坐標(biāo)原點，點A在x半軸上，對角線OB，AC相交于點M，OA=AB=4，OA=2CB．
（1）線段OB的長為

 

，點C的坐標(biāo)為

 

；
（2）求△OCM的面積；
（3）求過O，A，C三點的拋物線的解析式；
（4）若點E在（3）的拋物線的對稱軸上，點F為該拋物線上的點，且以A，O，F(xiàn)，E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）易證得△OAB是等腰Rt△，已知了直角邊的長，即可根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出斜邊OB的長；已知了OA=2BC，即可得到C點的橫坐標(biāo)，而B、C的縱坐標(biāo)相同，由此可求出C點的坐標(biāo)；
（2）易證得△BCM∽△OAM，且OA=2BC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得AM=2CM；由此可證得△OAM的面積是△OCM的2倍，即△OCM的面積是△OAC的

1

3

，因此只需求出△OAC的面積即可；
（3）用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過O、A、C三點的函數(shù)解析式；
（4）根據(jù)（3）得到的拋物線的解析式，即可求出其對稱軸方程；若以A，O，F(xiàn)，E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，應(yīng)分成兩種情況考慮：
①E點在x軸的下方，F(xiàn)在x軸的上方；此時四邊形OFAE的對角線OA、EF互相平分，四邊形OFAE是平行四邊形，此時F與C點重合；
②E、F同時在x軸下方；此時四邊形OAFE（或OAEF）以O(shè)A為邊，根據(jù)平行四邊形的對邊互相平行且相等知：OA=EF，由此可求出F點的橫坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中，即可求得F點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）在Rt△OAB中，OA=AB=4，所以△AOB是等腰直角三角形，
∴OB=

OA2+AB2

=

42+42

=4

2

，B（4，4）；
∵OA=2BC，則C點位于OA的垂直平分線上，
∴C（2，4）；

（2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4，∠OAB=90°，
∵CB∥OA，
∴△OAM∽△BCM，（3分）
又∵OA=2BC，
∴AM=2CM，CM=

1

3

AC，（4分）
所以S_△OCM=

1

3

S_△OAC=

1

3

×

1

2

×4×4=

8

3

．（5分）
（注：另有其它解法同樣可得結(jié)果，正確得本小題滿分．）

（3）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
由拋物線的圖象經(jīng)過點O（0，0），A（4，0），C（2，4），
所以

c=0 16a+4b+c=0 4a+2b+c=4

，（6分）
解這個方程組得a=-1，b=4，c=0，（7分）
所以拋物線的解析式為：
y=-x²+4x；（8分）

（4）∵拋物線y=-x²+4x的對稱軸是CD，x=2，
①當(dāng)點E在x軸的上方時，CE和OA互相平分則可知四邊形OEAC為平行四邊形，此時點F和點C重合，
點F的坐標(biāo)即為點F（2，4）；（9分）
②當(dāng)點E在x軸的下方，點F在對稱軸x=2的右側(cè)，存在平行四邊形AOEF，OA∥EF，且OA=EF，
此時點F的橫坐標(biāo)為6，
將x=6代入y=-x²+4x，可得y=-12．
所以F（6，-12）． （11分）
同理，點F在對稱軸x=2的左側(cè)，存在平行四邊形OAEF，OA∥FE，且OA=FE，
此時點F的橫坐標(biāo)為-2，
將x=-2代入y=-x²+4x，可得y=-12，
所以F（-2，-12）． （12分）
綜上所述，點F的坐標(biāo)為（2，4），（6，-12），（-2，-12）．（12分）

點評：此題主要考查了解直角三角形、三角形面積的求法、二次函數(shù)解析式的確定以及平行四邊形的判定等知識，同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強，難度偏大．