Question

若拋物線y=x²-（2m+4）+m²-10與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）．頂點(diǎn)為C．
（1）求m的范圍；
（2）若AB=2

2

，求拋物線的解析式；
（3）若△ABC為等邊三角形，求m的值．

Answer 1

（1）∵拋物線y=x²-（2m+4）+m²-10與x軸軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴方程x²-（2m+4）+m²-10=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
∴△＞0，
即：（2m+4）²-4（m²-10）＞0，
∴m的范圍為m＞-

7

2

；

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=2m+4，x₁x₂=m²-10，
又∵AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(2m+4)2-4(m2-10)

=

16m+56

，
∴

16m+56

=2

2

，
解得：m=-3．
∴拋物線的解析式為：y=x²+2x-1；

（3）拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m+2，-4m-4），AB=

16m+56

，
若△ABC為等邊三角形，則|-4m-14|=

1

2

×

16m+56

×tan60°，
解得：m=-

11

4

．