Question

19、已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，BE=DF．若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD．
求證：（1）AE=AF；（2）△AEF為等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的四條邊都相等，對(duì)角相等，可得AB=CB=CD=AD，∠B=∠D，又由BE=DF，易得△ABE≌△ADF，即可得AE=AF；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AB=AC=AD，即可得AB=AD=BC=CD=AC，易得∠B=60°，即可得∠ACD=120°，所以∠EAF=60°，所以△AEF為等邊三角形．

解答：證明：
（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CB=CD=AD，∠B=∠D，
∵BE=DF
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF；

（2）連接AC，
∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD．
∴AB=AC=AD，
∴AB=AD=BC=CD=AC，
∴∠B=60°，
∴∠ACD=120°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF為等邊三角形．（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等，對(duì)角相等．還考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，解題時(shí)要細(xì)心．要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．