Question

（1）觀(guān)察發(fā)現(xiàn)
如圖（1）：若點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m同側(cè)，在直線(xiàn)m上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，與直線(xiàn)m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線(xiàn)段AB′的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值．
如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在A(yíng)D上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作點(diǎn)B關(guān)于A(yíng)D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為　   　．
（2）實(shí)踐運(yùn)用
如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為　   　．
（3）拓展延伸
如圖（4）：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M，點(diǎn)N，使PM+PN的值最小，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法．

Answer 1

解：（1）=。
（2）。
（3）拓展延伸：作圖如下：

分析：（1）觀(guān)察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長(zhǎng)為BP+PE的最小值：
∵在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)
∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1。
∴CE=BE=。
（2）實(shí)踐運(yùn)用：過(guò)B點(diǎn)作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB，根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，則AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值：
∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)。
∵的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴∠BOC=30°，∠AOC=60°�！唷螮OC=30°。
∴∠AOE=60°+30°=90°。
∵OA=OE=1，∴AEOA=。
∵AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值，∴BP+AP的最小值是。
（3）拓展延伸：分別作出點(diǎn)P關(guān)于A(yíng)B和BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E和F，然后連接EF，EF交AB于M、交BC于N。則點(diǎn)M，點(diǎn)N，使PM+PN的值最小。
解：（1）觀(guān)察發(fā)現(xiàn)：。
（2）實(shí)踐運(yùn)用：
如圖，過(guò)B點(diǎn)作弦BE⊥CD，連接AE交CD于P點(diǎn)，連接OB、OE、OA、PB，則點(diǎn)P 即為使BP+AP的值最小的點(diǎn)。

BP+AP的最小值是。
（3）拓展延伸：作圖如下：