Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上，沿著PC折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交PC于F，連接BF．

（1）求證：四邊形BFEP為菱形；

（2）若tan∠BCP=，AB=3cm，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）AE=1 cm．

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行線的性質(zhì)得出∠BPF=∠EFP，證出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，所以BP=BF=EF=EP，即可得出結(jié)論；（2）由折疊可知,∠BCP=∠ECP，根據(jù)已知可得tan∠ECP =tan∠BCP=，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得，再證明△APE∽△DEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得．再由AB=DC=3cm，即可求得AE=1 cm．

（1）證明：∵折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PC，

∴B點(diǎn)與E點(diǎn)關(guān)于PQ對(duì)稱(chēng)．

∴BP=PE，BF=FE，∠BPF=∠EPF．

又∵EF∥AB，

∴∠BPF=∠EFP．

∴∠EPF=∠EFP．

∴EP=EF．

∴BP=BF=FE=EP．

∴四邊形BFEP為菱形．

（2）由折疊可知，∠BCP=∠ECP．

∴．

∴，

∵∠PEC=∠A=∠D=90°．

∴∠AEP+∠DEC=90°，∠AEP+∠APE=90°．

∴∠APE=∠DEC．

∴△APE∽△DEC．

∴．

∵AB=DC=3cm，

∴AE=1 cm．