Question

【題目】直線(xiàn)y＝x+8分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)M，N，邊長(zhǎng)為4的正方形OABC一個(gè)頂點(diǎn)O在坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線(xiàn)AN與MC相交于點(diǎn)P，若正方形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，則PC長(zhǎng)度的最小值是_____．

Answer 1

【答案】4﹣4．

【解析】

首先證明△MOC≌△NOA，推出∠MPN=90°，推出P在以MN為直徑的圓上，所以當(dāng)圓心G，點(diǎn)P，C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PC長(zhǎng)度的最小值．求出此時(shí)的PC即可．

在△MOC和△NOA中，

∵，∴△MOC≌△NOA（SAS），∴∠CMO=∠ANO．

∵∠CMO+∠MCO=90°，∠MCO=∠NCP，

∴∠NCP+∠CNP=90°，

∴∠MPN=90°，

∴MP⊥NP．

在正方形旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，同理可證，∴∠CMO=∠ANO，可得∠MPN=90°，MP⊥NP，

∴P在以MN為直徑的圓上．

∵直線(xiàn)y=x+8分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)M，N，

∴M（﹣8，0），N（0，8），

∴圓心G為（﹣4，4），半徑為4，

∵PG﹣GC≤PC，

∴當(dāng)圓心G，點(diǎn)P，點(diǎn)C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PC最小．

∵GN=GM，CN=CO=4，∴GCOM=4，

這個(gè)最小值為GP﹣GC=44．

故答案為：44．