Question

如圖1，反比例函數(shù)y=

k

x

過A（a，b）且|a+2

3

|+（b-2

3

）²=0
（1）求反比例函數(shù)解析式；

（2）如圖2，直線y=2x-2與x軸交于B，與y軸交于C，是否存在第二象限的點(diǎn)M，使線段BC繞M旋轉(zhuǎn)180°后恰好都落在反比例函數(shù)圖象的D點(diǎn)和E點(diǎn)，若存在，求D，E兩點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由；
（3）如圖3，反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使以PB為直徑的圓恰好過C點(diǎn)？若存在，求出直線PC的解析式和P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由（下圖僅為示意圖）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)|a+2

3

|+（b-2

3

）²=0，可以求出a、b的值，從而得知A點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出雙曲線的解析式．
（2）作EH⊥y軸，DG⊥y軸，EF⊥DG，垂足分別于點(diǎn)H、G、F，利用三角形全等及待定系數(shù)法求出D、E的坐標(biāo)．
（3）∵PC為直徑，△PCB為直角三角形，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可以表示出PC、PB的長，再根據(jù)勾股定理建立等式，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的解析式與勾股定理建立的等式構(gòu)成方程組就可以求出P點(diǎn)的，利用待定系數(shù)法就可以求出直線PC的解析式．

解答：解：（1）∵|a+2

3

|+（b-2

3

）²=0
∴a+2

3

=0或b-2

3

=0
∴a=-2

3

，b=2

3

∴k=-2

3

×2

3

=-12
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-

12

x

（2）作EH⊥y軸，DG⊥y軸，EF⊥DG，垂足分別于點(diǎn)H、G、F
由旋轉(zhuǎn)可知∠DEC=∠ECB，∠FEC=∠ECG，DE=BC
∴∠DEF=∠BCO
∴△DEF≌△BCO
∴DF=OB，EF=OC
∵B、C是直線y=2x-2與x軸，y軸的交點(diǎn)．
∴OC=2，OB=1
∴DF=1，EF=2
設(shè)D（a，b），則E（a+1，b+2），∵兩點(diǎn)都在雙曲線上，
∴

ab=-12 (a+1)(b+2)=-12

∵b＞0∴解得：

b=4 a=-3

D（-3，4），E（-2，6）

（3）設(shè)P（a，b），由兩點(diǎn)間的距離公式得PB=

(a-1)2+b2

，PC=

a2+(b+2)2

∵PB為直徑，△PCB為直角三角形，由勾股定理得：
5+a²+（b+2）²=（a-1）²+b²
∵ab=-12，∵b＞0
∴解得：

a=-2 7 -2 b=-1+ 7

∴P（-2

7

-2，-1+

7

）
設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，由題意得：

-2=b -1+ 7 =k(-2 7 -2)-2

解得：

k=- 1 2 b=-2

∴直線PC的解析式為：y=-

1

2

x-2

點(diǎn)評：本題是一道反比例函數(shù)的綜合題，考查了非負(fù)數(shù)和為0定理，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，旋轉(zhuǎn)，勾股定理，圓周角定理、兩點(diǎn)間的距離公式等多個知識點(diǎn)，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．