Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，則的最小值是（ ）

A. 2B. C. 1D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

首先作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N交AC于P，此時(shí)MP+NP有最小值．然后證明四邊形PMBN為菱形，即可求出MP+NP=BM+BN=BC=1．

作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′,連接M′N交AC于P，此時(shí)MP+NP有最小值

∵菱形ABCD關(guān)于AC對(duì)稱，M是AB邊上的中點(diǎn)，

∴M′是AD的中點(diǎn)，

又N是BC邊上的中點(diǎn)，

∴AM′∥BN,AM′=BN，

∴四邊形AM′BN是平行四邊形，

∴PN∥AB，

又N是BC邊上的中點(diǎn)，

∴PN是△CAB的中位線，

∴P是AC中點(diǎn)，

∴PM∥BN，PM=BN，

∴四邊形PMBN是平行四邊形，

∵BM=BN，

∴平行四邊形PMBN是菱形。

∴MP+NP=BM+BN=BC=1.

故選C.