Question

如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，
（1）在圖1中，分別畫出點P到邊AC、BC、BA的垂線段PF、PG、PH，這3條線段相等嗎？為什么？
（2）在圖2中，∠ABC是直角，∠C=60°，其余條件都不變，請你判斷并寫出PE與PD之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）PF=PH=PG，理由如下：
∵AD平分∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB，
∴PF=PH，
∵BE平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB，
∴PG=PH，
∴PF=PH=PG；
（2）PE=PD．
證明：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠CAB=30°，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠CAD=∠BAD=∠CAB=15°，∠ABE=∠CBE=∠ABC=45°，
過點P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分別為F、G，
則∠PFE=∠PGD=90°，
∵∠PDG為△ADC的一個外角，
∴∠PDG=∠C+∠CAD=60°+∠CAB=60°+15°=75°，
∵∠PEF是△ABE的一個外角，
∴∠PEF=∠CAB+∠ABE=30°+∠CBA=30°+45°=75°，
∴∠PEF=∠PDG，
∵PF⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PFE=∠PGD=90°，
由第一問得：PF=PG，
∴△PFE≌△PGD，
∴PE=PD．