Question

如圖所示，已知OABC是-張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，且0A=15，0C=9，在邊AB上選取-點(diǎn)D，將△AOD沿OD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上，記為點(diǎn)E．

（1）求DE所在直線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P在x軸上，以點(diǎn)O、E、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，問這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使四邊形MNED的周長(zhǎng)最小?如果存在，求出周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

（1）y=-x+25；（2）有四個(gè)：P1（15，0）；P2（-15，0）；P3（24，0）；P4（，0）；（3）5+5

【解析】

試題分析：（1）由于OE=OA=15，AD=DE，在Rt△OCE中，由勾股定理求得CE的值，再在Rt△BED中，由勾股定理建立關(guān)于DE的方程求解；

（2）分四種情況：在x的正半軸上，OP=OE時(shí)；在x的負(fù)半軸上，OP=OE時(shí)；EO=EP時(shí)；OP=EP時(shí)，分別可以求得點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）作點(diǎn)D關(guān)于x的對(duì)稱點(diǎn)D′，點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′D′，分別交于y軸、x軸于點(diǎn)N、點(diǎn)M，則點(diǎn)M、N是所求得的點(diǎn)，能使四邊形的周長(zhǎng)最小，周長(zhǎng)且為E′D′+ED．

試題解析：（1）由題意知，OE=OA=15，AD=DE，

在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=，

∴BE=BC-CE=15-12=3

在Rt△BED中，由勾股定理知：AD2=DE2=BE2+BD2，即DE2=（9-DE）2+32，

解得DE=5，

∴AD=5

∴D（15，5），E（12，9）

設(shè)DE直線的解析式為y=kx+b，

∴

解得k=-，b=25

∴DE直線的解析式為y=-x+25；

（2）當(dāng)在x的正半軸上，OP1=OE=15時(shí)，點(diǎn)P1與點(diǎn)A重合，則P1（15，0）；

當(dāng)在x的負(fù)半軸上，OP2=OE=15時(shí)，則P2（-15，0）；

當(dāng)OE=EP3時(shí)，作EH⊥OA于點(diǎn)H，有OH=CE=HP3=12，則P3（24，0）；

當(dāng)OP4=EP4時(shí)，由勾股定理知P4H2+EH2=P4E2，即（12-P4E）2+92=P4E2

解得OP4=EP4=，即P4（，0）；

∴滿足△OPE為等腰三角形的點(diǎn)有四個(gè)：

P1（15，0）；P2（-15，0）；P3（24，0）；P4（，0）；

（3）作點(diǎn)D關(guān)于x的對(duì)稱點(diǎn)D′，點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′D′，分別交于y軸、x軸于點(diǎn)N、點(diǎn)M，則點(diǎn)M、N是所求得的點(diǎn)．

在Rt△BE′D′中，D′E′=

∴四邊形DENM的周長(zhǎng)=DE+EN+MN+MD=DE+D′E′=5+5

考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問題）；2.待定系數(shù)法求-次函數(shù)解析式；3等腰三角形的判定；4.正方形的性質(zhì)．