【題目】定義：若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線被稱為：“直角拋物線”．如圖，直線l：y＝
x+b經(jīng)過點M(0，
)，一組拋物線的頂點B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…Bn(n，yn) (n為正整數(shù))，依次是直線l上的點，第一個拋物線與x軸正半軸的交點A1(x1，0)和A2(x2，0)，第二個拋物線與x軸交點A2(x2，0)和A3(x3，0)，以此類推，若x1＝d(0＜d＜1)，當(dāng)d為_____時，這組拋物線中存在直角拋物線．
【答案】
、
、
【解析】
由拋物線的對稱性可知，所構(gòu)成的直角三角形必是以拋物線頂點為直角頂點的等腰三角形，所以此等腰三角形斜邊上的高等于斜邊的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜邊的長小于2，所以等腰直角三角形斜邊的高一定小于1，即拋物線的定點縱坐標(biāo)必定小于1．
直線l：y＝
x+b經(jīng)過點M(0，
)，則b＝；
∴直線l：y＝
．
由拋物線的對稱性知：拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的直角三角形必為等腰直角三角形；
∴該等腰三角形的高等于斜邊的一半．
∵0＜d＜1，
∴該等腰直角三角形的斜邊長小于2，斜邊上的高小于1(即拋物線的頂點縱坐標(biāo)小于1)；
當(dāng)x＝1時，
，
當(dāng)x＝2時，
，
當(dāng)x＝3時，
，
當(dāng)x＝4時，
，
∴直角拋物線的頂點只有B1、B2‘B3．
①若B1為頂點，由
，則
；
②若B2為頂點，由
，則
；
③若B3為頂點，由
，則d＝
；
綜上所述，d的值為或或時．這組拋物線中存在直角拋物線．
故答案為：、、．
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【題目】在甲、乙兩個不透明的布袋，甲袋中裝有3個完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2；乙袋中裝有3個完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，﹣2，0；現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)抽取一個小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為x，再從乙袋中隨機(jī)抽取一個小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為y，確定點M坐標(biāo)為（x，y）．
（1）用樹狀圖或列表法列舉點M所有可能的坐標(biāo)；
（2）求點M（x，y）在函數(shù)y＝﹣x+1的圖象上的概率．
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【題目】綜合與實踐：
問題情境：（1）如圖1，點E是正方形ABCD邊CD上的一點，連接BD、BE，將∠DBE繞點B順針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線DA交于點F和點G．
①線段BE和BF的數(shù)量關(guān)系是 ；
②寫出線段DE、DF和BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
操作探究：（2）在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，點E是菱形ABCD邊CD所在直線上的一點，連接BD、BE，將∠DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線DA交于點F和點G．
①如圖2，點E在線段DC上時，請?zhí)骄烤�段DE、DF和BD之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并給出證明．
②如圖3，點E在線段CD的延長線上時，BE交射線DA于點M，若DE＝DC＝2a，直接寫出線段FM和AG的長度．
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【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝
，E是CD邊上的中點，P是BC邊上的一點，且BP＝2CP．
（1）求證：∠AED＝∠BEC；
（2）判斷EB是否平分∠AEC，并說明理由；
（3）如圖2，連接EP并延長交AB的延長線于點F，連接AP，不添加輔助線，△PFB可以由都經(jīng)過P點的兩次變換與△PAE組成一個等腰三角形，直接寫出兩種方法（指出對稱軸、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和平移距離）．
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【題目】閱讀材料：
小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如
．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：
設(shè)
（其中
、
、
、
均為整數(shù)），則有
．
，
．這樣小明就找到了一種把類似
的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時，若
，用含、的式子分別表示、，得：
，
；
（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)、、、填空： 
；
（3）若
，且、、均為正整數(shù)，求的值？
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【題目】如圖，已知直線
與拋物線
相交于A，B兩點，且點A（1，－4）為拋物線的頂點，點B在x軸上。
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是y軸上一點，且△ABQ為直角三角形，求點Q的坐標(biāo)。
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【題目】如圖，已知銳角
內(nèi)接于⊙O， 
于點D，連結(jié)AO.
⑴若
.
①求證：
；
②當(dāng)
時，求面積的最大值；
⑵點E在線段OA上，
，連接DE，設(shè)
，
（m、n是正數(shù)），若
，求證：
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【題目】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC．點E為CD邊上一點，AE與BE分別為∠DAB和∠CBA的平分線．
（1）請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件 ，使得四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的結(jié)論；
（2）作線段AB的垂直平分線交AB于點O，并以AB為直徑作⊙O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（3）在（2）的條件下，⊙O交邊AD于點F，連接BF，交AE于點G，若AE=4，sin∠AGF=
，求⊙O的半徑．
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【題目】若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程
=4的解為正數(shù)，且使關(guān)于y，不等式組
的解集為y＜-2，則符合條件的所有整數(shù)a的和為______．
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