Question

已知四邊形ABCD中，BC=DC，對(duì)角線AC平分∠BAD．
（1）作CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分別為垂足．求證：△BCE≌△DCF．
（2）如果AB=21，AD=9．BC=DC=10，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵AC平分∠BAD，且CE⊥AB，CF⊥AD；
∴CF=CE；
又∵CD=BC；
∴Rt△BCE≌Rt△DCF．

（2）解：取AG=AD，作CH⊥AB，垂足為H，
得△ADC≌△AGC，
∴AG=AD=9，CG=CD=10；
∴CG=CB；
∴△CGB為等腰三角形．
∵GB=AB-AG=21-9=12，GH=HB=6；
∴CH²=100-36=64，
∴CH=8；
∴AH=AG+GH=9+GB=9+6=15；
Rt△ACH中，AC²=AH²+CH²=15²+8²=17²
∴AC=17．
分析：（1）由角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，易證明△BCE≌△DCF．
（2）需要作一條輔助線，可在AB上取一點(diǎn)G使AG=AD，則有△ADC≌△AGC，易證△CGB為等腰三角形，過C作CH⊥GB，在Rt△ACH中可求得AC的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等及三角形全等的證明，輔助線、勾股定理的利用等知識(shí)點(diǎn)，推理較為復(fù)雜．