Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，BC=2AD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E．
（1）求證：∠ADC=90°；
（2）若AC=6，AD=2，求∠ABC的正弦值和線段BE長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）首先作輔助線：過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，有等腰三角形中的三線合一，可得FC=

1

2

BC=AD，又由AD∥BC，易證得四邊形ADCF是平行四邊形，再由∠AFC=90°，證得四邊形ADCF是矩形，即可得到∠ADC=90°；
（2）在直角三角形ABF中，即可求得∠ABC的正弦值，由AD∥BC，得到△AED∽△CEB，即可求得線段BE長(zhǎng)．

解答：（1）證明：過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，
∴FC=

1

2

BC=AD，∠AFC=90°，
∵AD∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵∠AFC=90°，
∴四邊形ADCF是矩形，
∴∠ADC=90°；

（2）解：∵∠ADC=90°，AC=6，AD=2，
∴CD=4

2

，
∴sin∠ABC=

4 2

6

=

2 2

3

，
∵AD∥BC，
∴△AED∽△CEB，
∴

DE

BE

=

AD

BC

=

1

2

，
∵BD=

BC2+CD2

=4

3

，
∴BE=

8

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形與矩形的判定，以及等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)．此題考查了內(nèi)容比較全面，但是難度不大，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)識(shí)圖．