Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，AD=9cm，P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，P以1cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，Q以2cm/s的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．試計(jì)算，
（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，直線PQ四邊形截出四邊形是一個(gè)平行四邊形？
（2）在直線PQ所截出的平行四邊形中，在PQ的對(duì)邊任取一點(diǎn)O，連接OP、OQ，得到△OPQ，則△OPQ的面積與直線PQ所截出的平行四邊形的面積有何關(guān)系？并說(shuō)明理由．（在圖1、圖2中任取一種畫(huà)出圖形，說(shuō)明理由即可．）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可知，①AP=BQ，②PD=CQ時(shí)都可以是平行四邊形，然后列式進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形，過(guò)點(diǎn)O作AP的平行線即可得解．

解答：解：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，直線PQ四邊形截出四邊形是一個(gè)平行四邊形，
①當(dāng)AP=BQ時(shí)，AP=t，BQ=6-2t，
∴t=6-2t，
解得t=2，
②當(dāng)PD=CQ時(shí)，AP=9-t，CQ=2t，
∴9-t=2t，
解得t=3秒，
此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，符合題意，
∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒或3秒時(shí)，直線PQ四邊形截出四邊形是一個(gè)平行四邊形；

（2）△OPQ的面積平行四邊形的面積的一半．
理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OE∥AP，
則OE∥AP且OE=AP，
OE∥BQ且OE=BQ，
∴四邊形AOEP與四邊形OBQE都是平行四邊形，
∴S_△OPE=

1

2

S_{平行四邊形AOEP}，
S_△OQE=

1

2

S_{平行四邊形OBQE}，
∴S_△OPE+S_△OQE=

1

2

S_{平行四邊形AOEP}+

1

2

S_{平行四邊形OBQE}=

1

2

S_{平行四邊形ABQP}，
即S_△OPQ=

1

2

S_{平行四邊形ABQP}，
同理可證，圖2中S_△OPQ=

1

2

S_{平行四邊形PQCD}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各中常見(jiàn)四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，本題需要注意分兩種情況求解．