Question

20．如圖，已知△ABC是等邊三角形，D為AC邊上的一個動點(diǎn)，延長AB到E，使BE=CD，連結(jié)DE交BC于F．
（1）求證：DF=EF．
（2）若△ABC的邊長為a，BE的長為b，且a、b滿足（a-5）²+b²-6b+9=0，求BF的長．
（3）若△ABC的邊長為5，設(shè)CD=x，BF=y，求y與x間的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）過D作DM∥AB交BC于M，則△CDM為等邊三角形，得CD=DM，而BE=CD，得到DM=BE，易證得△FDM≌△FEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由（a-5）²+b²-6b+9=0，轉(zhuǎn)化為：（a-5）²+（b-3）²=0，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得：a=5，b=3，即BC=5，CM=3，求出BM=2，由（1）知△DFM≌△EFB，得出FM=FB=$\frac{1}{2}$BM=1即可．
（3）由（1）得△FDM≌△FEB，得到MF=BF=y，易得CM=CD=x，而BC=5，即有x+y+y=5，即可得到y(tǒng)與x間的函數(shù)關(guān)系式．

解答 （1）證明：過點(diǎn)D作DM∥AE交BC于點(diǎn)M，
∴∠CDM=∠A，∠CMD=∠ABC，
又∵在等邊三角形ABC中，∠A=∠ABC=∠C=60°，
∴∠CDM=∠CMD=∠C，
∴△CDM是等邊三角形，
∴CD=DM，
又∵CD=BE，
∴BE=DM，
∵DM∥AE，
∴∠MDF=∠E，
在△DMF和△EBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MDF=∠E}&{\;}\\{∠DFM=∠EFB}&{\;}\\{DM=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△EBF（AAS），
∴DF=EF；
（2）解：∵（a-5）²+b²-6b+9=0，
∴（a-5）²+（b-3）²=0，
∵（a-5）²≥0，（b-3）²≥0，
∴a-5=0，b-3=0，
∴a=5，b=3，
即BC=5，CM=3，
∴BM=2，
∵△DMF≌△EBF，
∴FM=FB=$\frac{1}{2}$BM=1．
（3）解：由（1）得△DMF≌△EBF，
∴BF=MF=y，
由（1）得△CDM是等邊三角形，
∴CM=CD=x，
又∵CM+MF+FB=BC=5，
∴2y+x=2，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+1（0＜x＜5）．

點(diǎn)評 本題是三角形綜合題目，考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．也考查了等邊三角形的性質(zhì)以及一次函數(shù)幾何圖形中的應(yīng)用；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．