Question

已知：有一個(gè)△ABC，且BC=2，AC=，AB=1；將它放置于平面直角坐標(biāo)系中；使BC在橫軸上，頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上，試探求C點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：∵△ABC中，BC=2，AC=，AB=1，
∴∠A=90°，∠ABC=60°．

①當(dāng)點(diǎn)A在第一象限時(shí)，如上圖，
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=上，
∴當(dāng)y=時(shí)，x=2，
∴A（2，），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD-CD=2-=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）；
②
當(dāng)點(diǎn)A在第一象限時(shí)，如上圖，
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=上，
∴當(dāng)y=時(shí)，x=2，∴A（2，），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD+CD=2+=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ，0）；
③
當(dāng)點(diǎn)A在第三象限時(shí)，如上圖，
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=上，
∴當(dāng)y=-時(shí)，x=-2，
∴A（-2，-），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD-CD=2-=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-，0）；
④
當(dāng)點(diǎn)A在第三象限時(shí)，如上圖，
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=上，
∴當(dāng)y=-時(shí)，x=-2，
∴A（-2，-），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD+CD=2+=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-，0）．
綜上，可知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）或（-，0）或（，0）或（-，0）．
分析：由于反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，點(diǎn)A可能在第一象限，也可能在第三象限，又因?yàn)樾边匓C在x軸上，所以可能點(diǎn)B在點(diǎn)C的右邊，也可能點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊，故一共分四種情況．針對(duì)每一種情況，都可以運(yùn)用三角函數(shù)的定義求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用以及30°角的直角三角形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是看到C的位置有4種不同的情況．