Question

【題目】對(duì)平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P（x，y），定義d=|x|+|y|，我們稱d為P（x，y）的幸福指數(shù)．對(duì)于函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)P（x，y），若它的幸福指數(shù)d≥1恒成立，則稱此函數(shù)為幸福函數(shù)，如二次函數(shù)y=x2+1就是一個(gè)幸福函數(shù)，理由如下：設(shè)P（x，y）為y=x2+1上任意一點(diǎn)，d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|，∵|x|≥0，|x2+1|=x2+1≥1，∴d≥1．∴y=x2+1是一個(gè)幸福函數(shù)．

（1）若點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=的圖象上，且它的幸福指數(shù)d=2，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）一次函數(shù)y=﹣x+1是幸福函數(shù)嗎？請(qǐng)判斷并說明理由；

（3）若二次函數(shù)y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函數(shù)，試求出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）或（1，1）；

（2）一次函數(shù)y=﹣x+1是幸福函數(shù)，理由見解析；

（3）若二次函數(shù)y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函數(shù)，m的取值范圍為m≥2．

【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m， ），根據(jù)幸福指數(shù)的定義，即可得出關(guān)于m的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)P（x，y）為y＝－x＋1上的一點(diǎn)，分x＜0、0≤x≤1和x＞1三種情況找出d的取值范圍，由此即可得出一次函數(shù)y＝－x＋1是幸福函數(shù)；

（3）設(shè)P（x，y）為y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m上的一點(diǎn)，由y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝(x－m)(x－m－1)且m＞0，可知分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m＋1、x＞m＋1四段尋找m的取值范圍，利用配方法以及二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合幸福函數(shù)的定義即可求出m的取值范圍，綜上即可得出結(jié)論．

試題解析：

解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m， ），

∴d＝|m|＋||＝2，

解得：m1＝﹣1，m2＝1，

經(jīng)檢驗(yàn)，m1＝﹣1，m2＝1是原分式方程的解，

∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）或（1，1）．

（2）一次函數(shù)y＝﹣x＋1是幸福函數(shù)，理由如下：

設(shè)P（x，y）為y＝﹣x＋1上的一點(diǎn)，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|﹣x＋1|，

當(dāng)x＜0時(shí)，d＝|x|＋|﹣x＋1|＝﹣x﹣x＋1＝1﹣2x＞1；

當(dāng)0≤x≤1時(shí)，d＝|x|＋|﹣x＋1|＝x﹣x＋1＝1；

當(dāng)x＞1時(shí)，d＝|x|＋|﹣x＋1|＝x＋x﹣1＝2x﹣1＞1．

∴對(duì)于y＝﹣x＋1上任意一點(diǎn)P（x，y），它的幸福指數(shù)d≥1恒成立，

∴一次函數(shù)y＝﹣x＋1是幸福函數(shù)．

（3）設(shè)P（x，y）為y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m上的一點(diǎn)，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m|，

∵y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝(x－m)(x－m－1)，m＞0，

∴分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m＋1、x＞m＋1考慮．

①當(dāng)x≤0時(shí)，d＝|x|＋|x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m|＝﹣x＋x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m＝(x﹣m﹣1)2﹣m﹣1，

當(dāng)x＝0時(shí)，d取最小值，最小值為m2＋m，

∴m2＋m≥1，

解得：m≥；

②0＜x＜m時(shí)，d＝|x|＋|x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m|＝x＋x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m ＝(x﹣m)2＋m﹣1≥1，

∵(x﹣m)2≥0，

∴m﹣1≥1，

解得：m≥2；

③當(dāng)m≤x≤m＋1時(shí)，d＝|x|＋|x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m|＝x－x2＋(2m＋1)x－m2－m ＝﹣(x﹣m﹣1)2＋m＋1，

當(dāng)x＝m時(shí)，d取最小值，最小值為m，

∴m≥1；

④當(dāng)x＞m＋1時(shí)，d＝|x|＋|x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m|＝x＋x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m＝(x﹣m)2＋m﹣1＞m≥1，

∴m≥1．

綜上所述：若二次函數(shù)y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m（m＞0）是幸福函數(shù)，m的取值范圍為m≥2．