Question

如圖，正方形ABCD中，E、F均為中點(diǎn)，則下列結(jié)論中：①AF⊥DE； ②AD=BP； ③PE+PF=PC； ④PE+PF=PC。其中正確的是（　　）

A．①④ B．①②④ C．①③ D．①②③

 

Answer 1

D．

【解析】

試題分析：如題圖，

∵正方形ABCD，E，F(xiàn)均為中點(diǎn)，∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB，EC=DF=DC.

∵在△ADF和△DCE中，AD＝DC，∠ADF＝∠DCE，DF＝CE，∴△ADF≌△DCE（SAS）.∴∠AFD=∠DEC.

∵∠DEC+∠CDE=90°，∴∠AFD+∠CDE=90°=∠DPF

∴AF⊥DE.∴①正確.

如圖1，過B作BG∥DE交AD于G，交AP于M，

∵AF⊥DE，BG∥DE，E是BC中點(diǎn)，∴BG⊥AP，G是AD的中點(diǎn).∴BG是AP的垂直平分線.

∴△ABP是等腰三角形.∴BP=AB=AD，∴②正確.

如圖2，延長(zhǎng)DE至N，使得EN=PF，連接CN，

∵∠AFD=∠DEC ，∴∠CEN=∠CFP.

又∵E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，∴CE=CF，

∵在△CEN和△CFP中，CE＝CF，∠CEN＝∠CFP，EN＝PF，∴△CEN≌△CFP（SAS）.∴CN=CP，∠ECN=∠PCF.

∵∠PCF+∠BCP=90°，∴∠ECN+∠BCP=∠NCP=90°.

∴△NCP是等腰直角三角形.∴PN=PE+NE=PE+PF=PC.∴③正確，④錯(cuò)誤.

∴①②③正確．

故選D．

考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的性質(zhì)和判定；3.線段垂直平分線性質(zhì)；4.等腰三角形的性質(zhì)和判定；5.垂直定義.