Question

【題目】如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，與、的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)、，連接．

（1）求證：．

（2）填空：

①已知，當(dāng)_________時(shí)，．

②連接、、．當(dāng)的度數(shù)為_________時(shí)，四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析

（2）①8；②30°

【解析】

（1）連接OD，因EF是圓的切線，則OD⊥EF.再通過內(nèi)錯(cuò)角相等，證AF∥OD即可；

（2）①利用點(diǎn)C是AF的中點(diǎn)，證CB是AEF的中位線，從而求得BE的長(zhǎng)；

（2）②利用菱形的性質(zhì)，證ODB是正三角形，進(jìn)而推導(dǎo)出∠E的大小.

（1）如下圖，鏈接OD

∵EF是O的切線

∴OD⊥EF

∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)

∴∠CAD=∠DAB

∵OA=OD=r

∴∠DAB=∠ADO

∴∠CAD=∠ADO

∴AF∥OD

∴AF⊥EF

（2）①如下圖，連接CB

∵AB是O的直徑，∴∠ACB=90°

∵AF⊥EF，∴EF∥CB

∵點(diǎn)C是AF的中點(diǎn)，∴CB是△AFE的中位線

∴BE=AB=8

（2）②如下圖，連接CO、CD

∵四邊形OCDB是菱形，∴OB=DB

∵OD=OB，∴OD=OB=DB，∴△ODB是等邊三角形

∴∠DOB=60°

∵AF∥OD，∴∠FAE=60°

∴∠E=30°