Question

【題目】將等腰直角三角形ABC（AB＝AC，∠BAC＝90°）和等腰直角三角形DEF（DE＝DF，∠EDF＝90°）按圖1擺放，點(diǎn)D在BC邊的中點(diǎn)上，點(diǎn)A在DE上．

（1）填空：AB與EF的位置關(guān)系是　 　；

（2）△DEF繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)至圖2所示位置時(shí)，DF，DE分別交AB，AC于點(diǎn)P，Q，求證：∠BPD+∠DQC＝180°；

（3）如圖2，在△DEF繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，始終點(diǎn)P不到達(dá)A點(diǎn)，△ABC的面積記為S1，四邊形APDQ的面積記為S2，那么S1與S2之間是否存在不變的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）平行；（2）見解析；（3）存在，S1＝2S2，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和平行線的判定方法即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝45°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；

（3）連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可得BD＝CD＝AD，∠B＝∠CAD，∠BDP＝∠ADQ，進(jìn)而可根據(jù)ASA證明△BDP≌△ADQ，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠C=45°，

∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠F＝∠E＝45°，

∴∠F＝∠ ABD，∴AB∥EF；

故答案為：平行；

（2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，

∵∠EDF＝90°，∴∠BDP+∠CDQ＝90°，

∴∠BPD+∠DQC＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠BDP﹣∠CDQ＝180°；

（3）S1與S2之間存在不變的數(shù)量關(guān)系：S1＝2S2.

理由：連接AD，如圖，∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD＝AD＝BC，∠B＝∠C＝∠CAD＝45°，

∵∠BDP+∠ADP＝∠ADP+∠ADQ＝90°，

∴∠BDP＝∠ADQ，

∴△BDP≌△ADQ（ASA），

∴S△ABD＝S△BPD+S△APD＝S△ADQ+S△APD＝S2，

又∵S△ADB＝S1，

∴S1＝2S2．