Question

以長(zhǎng)為2的線段為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上，如圖所示．
（1）求AM、DM的長(zhǎng)；
（2）求證：AM²=AD•DM．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求PD，根據(jù)AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM求解；
（2）由（1）計(jì)算的數(shù)據(jù)進(jìn)行證明．

解答：（1）解：在Rt△APD中，PA=

1

2

AB=1，AD=2，
∴PD=

PA2+AD2

=

5

，
∴AM=AF=PF-PA=PD-PA=

5

-1，
DM=AD-AM=2-（

5

-1）=3-

5

；

（2）證明：∵AM²=（

5

-1）²=6-2

5

，AD•DM=2（3-

5

）=6-2

5

，
∴AM²=AD•DM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是由勾股定理，正方形的邊長(zhǎng)相等，表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度．