Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF，垂足為H．
（1）如圖2，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．求證：△AGE≌△AFE；
（2）如圖3，連接BD交AE于點(diǎn)M，交AF于點(diǎn)N．請(qǐng)?zhí)骄坎⒉孪耄壕�段BM，MN，ND之間有什么數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BAD=90°．

又∵∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°．

∴∠BAG+∠BAE=45°．

∴∠GAE=∠FAE．

在△GAE和△FAE中 ，

∴△GAE≌△FAE（SAS）；

（2）解：如圖所示：將△ABM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADM′．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．

∴∠NDM′=90°．

∴NM′2=ND2+DM′2．

∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，

∴∠EAF=∠FAM′=45°．

在△AMN和△ANM′中， ，

∴△AMN≌△ANM′（SAS）．

∴MN=NM′．

又∵BM=DM′，

∴MN2=ND2+BM2．

【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下來(lái)在證明∠GAE=∠FAE，然后依據(jù)SAS證明△GAE≌△FAE即可；（2）將△ABM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADM′．在△NM′D中依據(jù)勾股定理可證明NM′2=ND2+DM′2 ， 接下來(lái)證明△AMN≌△ANM′，于的得到MN=NM′，最后再由BM=DM′證明即可．
【考點(diǎn)精析】利用正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了．