Question

一開口向上拋物線與x軸交于A（m-2，0），B（m+2，0）兩點，頂點C，且AC⊥BC．
（1）若m為常數(shù)，求拋物線解析式．
（2）點Q在直線y=kx+1上移動，O為原點，當m=4時，直線上只存在一個點Q使得∠OQB=90°，求此時直線解析式．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-m）²-2，由AC⊥BC，由拋物線的對稱性可知：△ACB為等腰直角三角形，可解得B點坐標，進而求出a的值；
（2）當m=4時，y=kx+1與x軸交于H，于y軸交于E（0.1），設(shè)OB中點為G，以O(shè)B為直徑作⊙G，由已知直線上只存在一個點Q使得∠OQB=90°，即切點，根據(jù)勾股定理和相似三角形求出點H的坐標，從而求出此時直線解析式．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-m）²-4a，
∵AC⊥BC，
∵由拋物線的對稱性可知：△ACB為等腰直角三角形，
又∵A（m-2，0），B（m+2，0）
∴AB=4，
∴y=a（x-m）²-4a，得a=

1

2

．
∴解析式為：y=

1

2

x2-mx+

1

2

m2-2；

（2）當m=4時，B（6，0），y=kx+1與x軸交于H，與y軸交于E（0，1），
設(shè)OB中點為G，以O(shè)B為直徑作⊙G，
當直線與⊙G切于點Q時，只存在一個點Q使∠OQB=90°，
設(shè)HO=t，∵HQ是⊙G切線，
∴∠EOH=HQG=90°，
又∵∠OHE=∠QHG，
∴△HOE∽△HQG，
∴

OE

OH

=

QG

HQ

，
由QG=3，OE=1，代入得HQ=3t，
在△HQG中，HQ²+QG²=HG²，即（3t）²+3²=（t+3）²，
整理得4t²-3t=0，
解得：t=

3

4

，或t=0（舍去），
所以點H的坐標為（-

3

4

，0），
把H（-

3

4

，0）代入y=kx+1得：k=

4

3

，
所以此時直線解析式為y=

4

3

x+1．

點評：本題二次函數(shù)的綜合題，涉及到知識點求解拋物線的解析式，分類討論思想，此題不是很難，但要仔細．