Question

關(guān)于x的方程2x²-（a²-4）x-a+1=0，
（1）a為何值時(shí)，方程的一根為0？
（2）a為何值時(shí)，兩根互為相反數(shù)？
（3）試證明：無(wú)論a取何值，方程的兩根不可能互為倒數(shù)．

Answer 1

分析：（1）若方程的一根為0，則兩根的積必為0，根據(jù)此關(guān)系可求出a的值；
（2）根據(jù)相反數(shù)的概念及一元二次方程兩根之和與系數(shù)的關(guān)系解答即可；
（3）根據(jù)倒數(shù)的概念及一元二次方程兩根之積與系數(shù)的關(guān)系證明即可．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的方程2x²-（a²-4）x-a+1=0，一根為0，
∴

-a+1

2

=0，
∴-a+1=0，解得a=1；


（2）∵關(guān)于x的方程2x²-（a²-4）x-a+1=0，兩根互為相反數(shù)，
∴

a2-4

2

=0，解得：a=±2；
把a(bǔ)=2代入原方程得，2x²-1=0，x=±

2

2

，
把a(bǔ)=-2代入原方程得，2x²+3=0，x²=-

3

2

，無(wú)解．
故當(dāng)a=2時(shí)，原方程的兩根互為相反數(shù)．

（3）因?yàn)榛�為倒�?shù)的兩個(gè)數(shù)積為1，所以x₁x₂=

-a+1

2

=1，
即

-a+1

2

=1，
解得，a=-1，
把a(bǔ)=-1代入原方程得，2x²+3x+2=0，
∵△=3²-4×2×2=-7＜0，
∴原方程無(wú)解，
∴無(wú)論a取何值，方程的兩根不可能互為倒數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解答此類題目時(shí)要注意把求得結(jié)果代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，利用一元二次方程根的判別式判斷原方程是否有解．