Question

【題目】如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，AB＝15，BC＝8，直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，分別與邊CD，AB相交于點(diǎn)E，F（其中0＜DE＜）．現(xiàn)將四邊形ADEF沿直線EF折疊得到四邊形A′D′EF，點(diǎn)A，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′，D′，過(guò)D′作D′G⊥CD于點(diǎn)G，則線段D′G的長(zhǎng)的最大值是_____，此時(shí)折痕EF的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，連接AC，BD．由題意OD＝OC＝OD′＝，推出點(diǎn)D′的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧CD，當(dāng)OD′⊥CD時(shí)，D′G的值最大，設(shè)DE＝ED′＝x，在Rt△EGD′中，根據(jù)EG2+D′G2＝ED′2，構(gòu)建方程求出x即可解決問(wèn)題．

如圖，連接AC，BD．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，∠DAB＝90°，AD＝BC＝8，

∴BD＝＝17，

∵OD＝OC＝OD′＝，

∴點(diǎn)D′的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧CD，

當(dāng)OD′⊥CD時(shí)，D′G的值最大，

∵OG∥BC，OD＝OB，

∴DG＝GC，

∴OG＝BC＝4，

∴D′G的最大值＝OD′﹣OG＝﹣4＝，

設(shè)DE＝ED′＝x，

在Rt△EGD′中，∵EG2+D′G2＝ED′2，

∴（﹣x）2+（）2＝x2，

解得x＝，

∴EG＝DG﹣DE＝

∴OE＝＝，

∴EF＝2OE＝．

故答案為：，