Question

在 平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，以B為頂點(diǎn)作∠CBA=∠CAB交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）D為線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥x軸交BC于點(diǎn)E，DF∥y軸交x軸于點(diǎn)F，設(shè)D的橫坐標(biāo)為m，求DE和DF的長（用m的代數(shù)式表示）；
（3）D為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥x軸交BC于點(diǎn)E，DF∥y軸交x軸于點(diǎn)F，設(shè)D的橫坐標(biāo)為m，若DE＞DF，試求m的范圍．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x=1；當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）；

（2）∵D為線段AB上一點(diǎn)，DF∥y軸交x軸于點(diǎn)F，D的橫坐標(biāo)為m，直線AB的解析式為y=-3x+3，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-3m+3），
∴DF=-3m+3（0≤m≤1）．
∵∠CBA=∠CAB，∴AC=BC．
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則（1-x）²=x²+3²，
解得x=-4，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
將B（0，3），C（-4，0）代入，
得，解得，
∴直線BC的解析式為y=x+3，
當(dāng)y=-3m+3時(shí)，x+3=-3m+3，
解得x=-4m，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-4m，-3m+3），
∴DE=m-（-4m）=5m；

（3）分三種情況討論：
①當(dāng)m≤0時(shí)，如右圖；
∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-3m+3），
∴DF=-3m+3，
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-4m，-3m+3），
∴DE=-4m-m=-5m．
由DE＞DF，得-5m＞-3m+3，
解得m＜-；
②當(dāng)0＜m≤1時(shí)，如題目圖；
∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-3m+3），
∴DF=-3m+3，
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-4m，-3m+3），
∴DE=m-（-4m）=5m，
由DE＞DF，得5m＞-3m+3，
解得m＞，
∴＜m≤1；
③當(dāng)m＞1時(shí)，如右圖；
∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-3m+3），
∴DF=3m-3，
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-4m，-3m+3），
∴DE=m-（-4m）=5m．
由DE＞DF，得5m＞3m-3，
解得m＞-，
∴m＞1．
綜上可知當(dāng)m＜-或m＞時(shí)，DE＞DF．
分析：（1）由直線y=-3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，根據(jù)x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，y軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）先由D的橫坐標(biāo)為m，得出點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，0），根據(jù)直線AB的解析式為y=-3x+3，得出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-3m+3），再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，由E與D的縱坐標(biāo)相同求出E點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出DE和DF的長；
（3）分三種情況討論：①m≤0；②0＜m≤1；③m＞1．分別求出DE和DF的長，根據(jù)DE＞DF列出關(guān)于m的不等式，解不等式即可．
點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行于坐標(biāo)軸上的任意兩點(diǎn)之間的距離，難度適中，要注意的是（3）中，要根據(jù)D點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．