Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙C的圓心坐標(biāo)為（-2，-2），半徑為

2

．函數(shù)y=-x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P為線段AB上一動點(diǎn)．
（1）連接CO，求證：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)直線PO與⊙C相切時，求∠POA的度數(shù)；當(dāng)直線PO與⊙C相交時，設(shè)交點(diǎn)為E、F，點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)，令PO=t，MO=s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要靠輔助線來完成解題．延長CO交AB于D，過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，根據(jù)題意求得坐標(biāo)A，B，繼而求出∠DAO=45°．然后根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)求出CG=OG=2，故求得∠COG=45°，∠AOD=45°后可知∠ODA=90°，證得CO⊥AB．
（2）要使△PDA為等腰三角形，要分三種條件解答．即當(dāng)OP=OA；當(dāng)PO=PA以及AP=AC三種情況．
（3）當(dāng)直線PO與⊙O相切時，設(shè)切點(diǎn)為K，連接CK，則CK⊥O．由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-2），易得CO=2

2

，求出∠COK=30°，同理求出∠POA的另一個值為15°．因為M為EF的中點(diǎn)，可以推出△COM∽△POD，然后根據(jù)線段比求出MO•PO=CO•DO．求出st的值．故當(dāng)PO過圓心C時，可求出s的值．

解答：（1）證明：延長CO交AB于D，過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G．
∵直線AB的函數(shù)關(guān)系式是y=-x+2，∴易得A（2，0），B（0，2）
∴AO=BO=2
又∵∠AOB=90°，∴∠DAO=45°（1分）
∵C（-2，-2），∴CG=OG=2
∴∠COG=45°，∠AOD=45°（2分）
∴∠ODA=90°，
∴OD⊥AB，即CO⊥AB（3分）

（2）解：要使△POA為等腰三角形
①當(dāng)OP=OA時，此時點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，2）；
②當(dāng)PO=PA時，由∠OAB=45°，∴點(diǎn)P恰好是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，1）；
③當(dāng)AP=AO時，則AP=2，過點(diǎn)P作PH⊥OA交于點(diǎn)H，在Rt△APH中，易得PH=AH=

2

，∴OH=2-

2

，∴點(diǎn)坐標(biāo)為（2-

2

，

2

），
綜上所述，P（0，2）、P（2-

2

，

2

）、P（1，1）；

（3）解：當(dāng)直線PO與⊙O相切時，設(shè)切點(diǎn)為K，連接CK，則CK⊥OK，
由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-2），易得CO=2

2

，
又∵⊙C的半徑為

2

，∴∠COK=30°，
∴∠POD=30°，又∠AOD=45°，∴∠POA=75°
同理可求出∠POA的另一個值為15°
∴∠POA等于75°或15°（10分）
∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，∴CM⊥EF
又∵∠COM=∠POD．CO⊥AB
∴△COM∽△POD
∴

CO

PO

=

MO

DO

，即MO•PO=CO•DO
∵PO=t，MO=s，CO=2

2

，DO=

2

，∴st=4．
當(dāng)PO過圓心C時，MO=CO=2

2

，PO=DO=

2

，即MO•PO=4，也滿足st=4．∴s=

4

t

．（

2

≤t＜

2 6

3

）．

點(diǎn)評：本題難度偏大，考查的是一次函數(shù)的運(yùn)用，圓的知識以及相似三角形的有關(guān)知識．考生要注意的是要根據(jù)最基本的一次函數(shù)循序解答，不可大意．