Question

如圖，正方形OABC的面積是9，點O為坐標(biāo)原點，點A在x軸上，點C在y軸上，點B、點P（m，n）在函數(shù)y=（k＞0，x＞0）的圖象上．過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為E、F．
（1）求B點坐標(biāo)和k的值；
（2）當(dāng)P點的橫坐標(biāo)大于B點的橫坐標(biāo)，且S_{四邊形AEPG}=時，求PA所在的直線方程；
（3）求函數(shù)y=m+n的最小值；
（注：可使用如下平均值定理：若a＞0，b＞0，則a+b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立．）

Answer 1

解：（1）∵正方形OABC的面積是9，
∴AB=BC=3，
即B點坐標(biāo)為（3，3），
把B（3，3）代入函數(shù)y=中，
得k=xy=9；

（2）設(shè)P（a，），（a＞3），則PG=a-3，PE=，
由S_{四邊形AEPG}=PG×PE=，得（a-3）•=，
解得a=6，故P（6，），
設(shè)直線PA解析式為y=kx+b，將P（6，），A（3，0）兩點坐標(biāo)代入，
得，
解得，
∴直線PA的解析式為y=x-；

（3）∵點P（m，n）在雙曲線y=上，
∴n=，
∴y=m+n=m+≥2=6，
∴函數(shù)y=m+n的最小值為6．
分析：（1）根據(jù)正方形OABC的面積是9，可求B點坐標(biāo)為（3，3），把B點坐標(biāo)代入函數(shù)y=中，可求k=9；
（2）設(shè)P（a，），（a＞3），則PG=a-3，PE=，由S_{四邊形AEPG}=PG×PE=，列方程求a，設(shè)直線PA解析式為y=kx+b，將P、A兩點坐標(biāo)代入可求直線PA的解析式；
（3）點P（m，n）在雙曲線y=上，可知n=，故y=m+n=m+，再根據(jù)平均值定理求最小值．
點評：此題主要考查反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式的求法，注意通過解方程求點的坐標(biāo)，列方程組求直線的解析式．同時要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．