Question

1．如圖，點(diǎn)P在圓O外，PA與圓O相切于A點(diǎn)，OP與圓周相交于C點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線PO對稱，已知OA=4，∠POA=60°求：
（1）弦AB的長；
（2）陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB交OP于D，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠PAO=90°，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出PA=$\sqrt{3}$OA=4$\sqrt{3}$，PO=2OA=8，由于∠O=60°，接著根據(jù)對稱的性質(zhì)得OP⊥AB，AD=BD，則可利用面積法計算出AD=2$\sqrt{3}$，于是得到AB=2AD=4$\sqrt{3}$；
（2）根據(jù)扇形的面積公式，利用陰影部分的面積=S_△OAP-S_扇形AOC進(jìn)行計算即可．

解答 解：（1）設(shè)AB交OP于D，
∵PA為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠PAO=90°，
∵∠O=60°，PA=$\sqrt{3}$OA=4$\sqrt{3}$，PO=2OA=8，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線PO對稱，
∴OP⊥AB，AD=BD，
∴AD=OAsin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2AD=4$\sqrt{3}$；

（2）陰影部分的面積=S_△OAP-S_扇形AOC
=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$-$\frac{60•π•{4}^{2}}{360}$=8$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$π．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了扇形面積公式．