Question

【題目】請(qǐng)閱讀下列材料：

問題：如圖1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,MN是過點(diǎn)A的直線,DB⊥MN于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)CD.求證：BD+AD= CD.

小明的思考過程如下：要證BD+AD=CD,需要將BD,AD轉(zhuǎn)化到同一條直線上,可以在MN上截取AE=BD,并聯(lián)結(jié)EC,可證△ACE和△BCD全等,得到CE=CD,且∠ACE=∠BCD,由此推出△CDE為等腰直角三角形,可知DE=CD，于是結(jié)論得證。

小聰?shù)乃伎歼^程如下：要證BD+AD=CD,需要構(gòu)造以CD為腰的等腰直角三角形,可以過點(diǎn)C作CE⊥CD交MN于點(diǎn)E,可證△ACE和△BCD全等,得到CE=CD,且AE=BD,由此推出△CDE為等腰直角三角形,可知DE=CD，于是結(jié)論得證。

請(qǐng)你參考小明或小聰?shù)乃伎歼^程解決下面的問題：

(1)將圖1中的直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2和圖3的兩種位置時(shí)，其它條件不變，猜想BD，AD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇其中一個(gè)圖形加以證明；

(2)在直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)∠BCD=30°,BD=時(shí)，CD=___.

Answer 1

【答案】（1）BDAD=CD.，證明見解析；（2）±1.

【解析】

（1）過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據(jù)此即可得到BE=CB，根據(jù)BE=AB-AE即可證得；

（2）過點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，證明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的長，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．

（1）如圖2,過點(diǎn)C作CE⊥CD交MN于點(diǎn)E,則∠2=90°.

∵∠ACB=90°，∴∠2+∠ACD=∠ACB+∠ACD，

即∠ACE=∠BCD.

設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)F,∵DB⊥MN,∴∠ADB=90°.

∴∠CAE+∠AFD=90°,∠1+∠BFC=90°.

∵∠AFD=∠BFC，∴∠CAE=∠1.

在△ACE和△BCD中

，

∴△ACE≌△BCD(ASA).

∴CE=CD，AE=BD.

在Rt△CDE中,∵CD +CE=DE，

∴2CD=DE,即DE=CD.

∵DE=AEAD=BDAD,∴BDAD=CD.

(2)MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，這個(gè)的意思并沒有指明是哪種情況，

∴綜合了第一個(gè)圖和第二個(gè)圖兩種情況

若是第1個(gè)圖：易證△ACE≌△DCB，CE=CD，

∴△ECD為等腰直角三角形，

∴∠AEC=45°=∠CBD，

過D作DH⊥CB.則△DHB為等腰直角三角形。

BD=BH，

∴BH=DH=1

直角三角形△CDH中，

∠DCH=30°，

BH=1,則CH= .

∴CD=+1

若是第二個(gè)圖：過B作BH⊥CD交CD延長于H.

解法類似上面,CH=,DH=1,CD=1.

故答案為：±1.