Question

【題目】已知二次函數y＝（x﹣m）2+2（x﹣m）（m為常數）

（1）求證：不論m為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個不同的公共點；

（2）當m取什么值時，該函數的圖象關于y軸對稱？

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）當m＝1時，該函數的圖象關于y軸對稱．

【解析】

（1）若證明二次函數與x軸總有兩個不同的公共點，只需令y＝0，得到一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，計算方程的判別式b2﹣4ac＞0即可；

（2）若二次函數的圖象關于y軸對稱，則對稱軸x＝﹣＝0，計算即可得到m的值．

（1）證明：令y＝0，則（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，即x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0，

∵△＝（2﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣2m）＝4＞0，

∴方程x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0有兩個不相等的實數根，

∴不論m為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個不同的公共點；

（2）二次函數y＝（x﹣m）2+2（x﹣m）＝x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m，

∵函數的圖象關于y軸對稱，

∴x＝﹣＝0，

解得m＝1，

∴當m＝1時，該函數的圖象關于y軸對稱．