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        1. (2006•漳州)已知△ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,BD是AC邊上的中線,分別以AC,AB所在直線為x軸,y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖).
          (1)在BD所在直線上找出一點P,使四邊形ABCP為平行四邊形,畫出這個平行四邊形,并簡要敘述其過程;
          (2)求直線BD的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)直線BD上是否存在點M,使△AMC為等腰三角形?若存在,求點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

          【答案】分析:(1)因為BD是AC邊上的中線,所以過A畫AP∥BC,交直線BD于P,連接PC,可得到△ADP≌△CDB.
          即可得到BD=CD.利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可知四邊形ABCP是所畫的平行四邊形;
          (2)因為AB=AC=4,BD是AC邊上的中線,所以可得到AD=DC=2,即B(0,4),D(2,0).
          可設(shè)直線BD的函數(shù)關(guān)系式:y=kx+b,將B、D的坐標(biāo)代入,得到關(guān)于k、b的方程組,解之即可;
          (3)因為M在直線BD上,所以可設(shè)M(a,-2a+4),因為△AMC為等腰三角形,所以需分情況討論:
          分三種情況:
          ①若AM=AC,利用兩點間的距離公式可得AM2=a2+(-2a+4)2,因為AC2=16,所以可得到關(guān)于a的方程,解之即可;
          ②若MC=AC,利用兩點間的距離公式可得MC2=(4-a)2+(-2a+4)2,AC2=16,所以可得到關(guān)于a的方程,解之即可;
          ③若AM=MC,利用兩點間的距離公式可得AM2=a2+(-2a+4)2,MC2=(4-a)2+(-2a+4)2,a2+(-2a+4)2=(4-a)2+(-2a+4)2解之即可,又因M5(2,0)點在AC上,構(gòu)不成三角形,所以應(yīng)舍去.
          解答:解:(1)(4分)
          正確畫出平行四邊形ABCP.                           (2分)
          敘述畫圖過程合理.                                 (4分)
          方法一:在直線BD上取一點P,使PD=BD
          連接AP,PC.                                        (1分)
          所以四邊形ABCP是所畫的平行四邊形.                  (2分)
          方法二:過A畫AP∥BC,交直線BD于P,
          連接PC.                                            (1分)
          所以四邊形ABCP是所畫的平行四邊形.                  (2分)

          (2)(4分)
          ∵AB=AC=4,BD是AC邊上的中線,
          ∴AD=DC=2.
          ∴B(0,4),D(2,0).                            (2分)
          設(shè)直線BD的函數(shù)關(guān)系式:y=kx+b,
          解得.                      (3分)
          ∴直線BD的函數(shù)關(guān)系式:y=-2x+4.                    (4分)

          (3)(6分)
          設(shè)M(a,-2a+4).                                  (2分)
          分三種情況:
          ①AM=AC.
          ∵AM2=a2+(-2a+4)2,AC2=16.
          ∴a2+(-2a+4)2=16.解得
          ∴M1(0,4),.               (3分)
          ②MC=AC.
          ∵M(jìn)C2=(4-a)2+(-2a+4)2,AC2=16.
          ∴(4-a)2+(-2a+4)2=16.
          解得
          ∴M3(4,-4),.                  (4分)
          ③AM=MC.
          ∵AM2=a2+(-2a+4)2,MC2=(4-a)2+(-2a+4)2,∴a2+(-2a+4)2=(4-a)2+(-2a+4)2,解得a5=2.
          ∴M5(2,0),這時M5點在AC上,構(gòu)不成三角形,舍去. (5分)
          綜上所述,在直線BD上存在四點,即M1(0,4),,M3(4,-4),符合題意.  (6分)
          點評:本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式和兩點間的距離公式,解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,另外要注意答案的合理性.
          練習(xí)冊系列答案
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