Question

已知拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），頂點(diǎn)為D（1，-1）．
（1）確定拋物線的解析式；
（2）直線y=3與拋物線相交于B、C兩點(diǎn)（B點(diǎn)在C點(diǎn)左側(cè)），以BC為一邊，原點(diǎn)O為另一頂點(diǎn)作平行四邊形，設(shè)平行四邊形的面積為S，求S的值；
（3）若以（2）小題中BC為一邊，拋物線上的任一點(diǎn)P為另一頂點(diǎn)作平行四邊形，當(dāng)平行四邊形面積為8時，試確定P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）當(dāng)-2≤x≤4時，（3）小題中平行四邊形的面積是否有最大值？若有請求出，若無請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中，即可得出拋物線的解析式．
（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出BC的長，然后根據(jù)B點(diǎn)的縱坐標(biāo)（即平行四邊形的高），求出S的值．
（3）由于BC邊的長已確定，因此可根據(jù)平行四邊形的面積求出P點(diǎn)和B點(diǎn)的縱坐標(biāo)差的絕對值，以此可得出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線的解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）先根據(jù)拋物線的解析式找出x在-2和4區(qū)間拋物線上到BC距離最長的點(diǎn)，進(jìn)而可求出平行四邊形的最大面積．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx過點(diǎn)A（2，0），D（1，-1），
∴

4a+2b=0 a+b=-1

解得a=1，b=-2．
則拋物線的解析式為y=x²-2x．

（2）在拋物線解析式為y=x²-2x中，令y=3，
即3=x²-2x．
解得x₁=-1，x₂=3
則B（-1，3）、C（3，3）．
故BC=4，那么S=4×3=12．

（3）當(dāng)P點(diǎn)在直線BC下方時，
S=4×（3-y）=12-4y=8，y=1．
由x²-2x=1，得：
x1=1-

2

，x2=1+

2

．
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為
P₁（1-

2

，1），P₂（1+

2

，1）．
當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時，
S=4×（y-3）=4y-12=8，y=5．
由x²-2x=5，得：
x3=1-

6

，x4=1+

6

．
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為
P₃（1-

6

，5），P₄（1+

6

，5）．

（4）把x=-2代入y=x²-2x，
得y=8，
把x=4代入y=x²-2x，
得y=8，
當(dāng)-2≤x≤4時，頂點(diǎn)D到BC的距離為4，拋物線上與線段BC距離最遠(yuǎn)的有兩個點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（-2，8）、（4，8）與線段BC的距離都為5．
∴S有最大值，其最大值為
S=4×（8-3）=20．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．