Question

【題目】五邊形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且滿足以點B為圓心，AB長為半徑的圓弧AC與邊DE相切于點F，連接BE，BD．

（1）如圖1，求∠EBD的度數(shù);
（2）如圖2，連接AC，分別與BE，BD相交于點G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AGHC的值．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：如圖1，

連接BF，

∵DE與⊙B相切于點F，

∴BF⊥DE，

在Rt△BAE與Rt△BEF中，

，

∴Rt△BAE≌Rt△BEF，

∴∠1=∠2，

同理∠3=∠4，

∵∠ABC=90°，

∴∠2+∠3=45°，

即∠EBD=45°；

（2）

【解答】

如圖2，

連接BF并延長交CD的延長線于P，

∵∠4=15°，

由（1）知，∠3=∠4=15°，

∴∠1=∠2=30°，∠PBC=30°，

∵∠EAB=∠PCB=90°，AB=1，

∴AE=，BE=，

在△ABE與△PBC中，，

∴△ABE≌△PBC，

∴PB=BE=，

∴PF=-1，

∵∠P=60°，

∴DF=2﹣，

∴CD=DF=2﹣，

∵∠EAG=∠DCH=45°，

∠AGE=∠BDC=75°，

∴△AEG∽△CHD，

∴，

∴AGCH=CDAE，

∴AGCH=CDAE=（2﹣）=．

【解析】（1）如圖1，連接BF，由DE與⊙B相切于點F，得到BF⊥DE，通過Rt△BAE≌Rt△BEF，得到∠1=∠2，同理∠3=∠4，于是結論可得；
（2）如圖2，連接BF并延長交CD的延長線于P，由△ABE≌△PBC，得到PB=BE=，求出PF=-1，通過△AEG∽△CHD，列比例式即可得到結果．
【考點精析】通過靈活運用切線的性質定理和相似三角形的判定與性質，掌握切線的性質：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．