Question

【題目】將直角邊長(zhǎng)為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C及點(diǎn)B（﹣3，0）．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線交AC于點(diǎn)E，連接AP，當(dāng)△APE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)G，使△AGC的面積與（2）中△APE的最大面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，

∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，6），

∴c=6．

∵拋物線的圖象又經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣3，0）和（6，0），

∴ ，

解之得 ，

故此拋物線的解析式為：y=﹣ x2+x+6．

（2）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），

則PC=6﹣m，S△ABC= BCAO= ×9×6=27；

∵PE∥AB，

∴△CEP∽△CAB；

∴ ，

即 =（ ）2，

∴S△CEP= （6﹣m）2，

∵S△APC= PCAO= （6﹣m）×6=3（6﹣m），

∴S△APE=S△APC﹣S△CEP=3（6﹣m）﹣ （6﹣m）2=﹣ （m﹣ ）2+ ；

當(dāng)m= 時(shí)，S△APE有最大面積為 ；

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，0）．

（3）

解：如圖，過(guò)G作GH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G（a，b），

連接AG、GC，

∵S梯形AOHG= a（b+6），
S△CHG= （6﹣a）b，
∴S四邊形AOCG= a（b+6）+ （6﹣a）b=3（a+b）．
∵S△AGC=S四邊形AOCG﹣S△AOC ，
∴ =3（a+b）﹣18，
∵點(diǎn)G（a，b）在拋物線y=﹣ x2+x+6的圖象上，
∴b=﹣ a2+a+6，
∴ =3（a﹣ a2+a+6）﹣18，
化簡(jiǎn)，得4a2﹣24a+27=0，
解之得a1= ，a2= ；
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為（ ， ）或（ ， ）．

【解析】（1）已知OA、OC的長(zhǎng)，可得A、C的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．（2）設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，表示出CP的長(zhǎng)，由于PE∥AB，可利用相似三角形△CPE∽△CBA，求出△APE的面積表達(dá)式，進(jìn)而可將面積問(wèn)題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到△APE的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．（3）由于△AGC的面積無(wú)法直接求出，可用割補(bǔ)法求解，過(guò)G作GH⊥x軸于H，設(shè)出G點(diǎn)坐標(biāo)，表示出△HGC、梯形AOHG的面積，它們的面積和減去△AOC的面積即可得到△AGC的面積表達(dá)式，然后將（2）題所得△APE的面積最大值代入上式中，聯(lián)立拋物線的解析式即可得到點(diǎn)G的坐標(biāo)．