Question

12．如圖，⊙O的弦AB與半徑OC垂直，點(diǎn)D為垂足，OD=DC，AB=2$\sqrt{3}$，點(diǎn)E在⊙O上，∠EOA=30°，則△EOC的面積為1或2．

Answer 1

分析 設(shè)⊙O的半徑為x（x＞0），則OD=DC=$\frac{1}{2}$x，根據(jù)垂徑定理可知AD=$\sqrt{3}$，在Rt△ADO中利用勾股定理即可求出x值，再分點(diǎn)E在$\widehat{AC}$外和點(diǎn)E在$\widehat{AC}$上兩種情況考慮△EOC的面積，當(dāng)點(diǎn)E在$\widehat{AC}$外時(shí)，通過角的計(jì)算可得出∠COE=90°，利用三角形的面積公式即可求出S_△EOC的值；當(dāng)點(diǎn)E在$\widehat{AC}$上時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥OC于點(diǎn)F，通過角的計(jì)算可得出∠COE=30°，由此可得出EF的長度，利用三角形的面積公式即可求出S_△EOC的值．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：依照題意畫出圖形，連接OA．
設(shè)⊙O的半徑為x（x＞0），則OD=DC=$\frac{1}{2}$x．
∵OC⊥AB于點(diǎn)D，
∴∠ADO=90°，AD=DB=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$．
在Rt△ADO中，AO=x，OD=$\frac{1}{2}$x，AD=$\sqrt{3}$，
∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，AD=$\sqrt{A{O}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\sqrt{3}$，
解得：x=2．
當(dāng)點(diǎn)E在$\widehat{AC}$外時(shí)，∠COE=∠AOD+∠EOA=90°，
∴S_△EOC=$\frac{1}{2}$EO•OC=2；
當(dāng)點(diǎn)E在$\widehat{AC}$上時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥OC于點(diǎn)F，
∵∠COE=∠AOD-∠EOA=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$OE=1，
∴S_△EOC=$\frac{1}{2}$OC•EF=1．
綜上可知：△EOC的面積為1或2．
故答案為：1或2．

點(diǎn)評 本題考查了垂徑定理、勾股定理以及三角形的面積，分點(diǎn)E在$\widehat{AC}$外和點(diǎn)E在$\widehat{AC}$上兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．