Question

在直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=1，以AB為邊作正方形ABCD（如圖1）．
（1）求△AOB的面積；
（2）若∠AOB的平分線(xiàn)交AB于N，交DC于M，過(guò)N作NH⊥AO，垂足為H．連接AC交MN于Q（如圖2）．
①試說(shuō)明△ONH是等腰直角三角形；
②求AQ的長(zhǎng)；
③點(diǎn)P為線(xiàn)段MO上的動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)A、N、O為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形和以點(diǎn)D、M、P為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似，求MP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形求面積的方法求解即可；
（2）①由角平分線(xiàn)與平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可求得∠HNO=∠HON=45°，則可得到△ONH是等腰直角三角形；
②由題意可得：△AHN∽△AOB，即可得到比例線(xiàn)段，求得NH與AN的值；又由△AQN∽△OBN，即可求得AQ的長(zhǎng)；
③由正方形的性質(zhì)，分別從當(dāng)∠DPM=45°時(shí)，△AON∽△DPM，當(dāng)∠PDM=45°時(shí)，△AON∽△PDM，兩種情況考慮求解即可．

解答：解：（1）∵∠AOB=90°，AO=3，BO=1，
∴S_△AOB=

1

2

AO•BO=

1

2

×3×1=1.5；

（2）①∵ON是∠AOB的平分線(xiàn)，∠AOB=90°，
∴∠HON=∠NOB=

1

2

∠AOB=45°，OA⊥OB，
∵NH⊥OA，
∴NH∥BO，
∴∠HNO=∠NOB=45°，
∴∠HNO=∠HON=45°，
∴△ONH是等腰直角三角形；
②∵NH∥BO，
∴△AHN∽△AOB，
∴

AH

AO

=

HN

OB

，
∴

AH

HN

=

OA

OB

=

3

1

，
∴NH=

3

4

ON=

3 2

4

，
∴AN=

3 10

4

BN=

10

4

，
∵在△AQN和△OBN中，∠QAN=∠NOB=45°，
∴∠ANQ=∠ONB，
∴△AQN∽△OBN，
∴AQ=

5

；
③Q為正方形的中心，
∴NB=MD，
∵AB∥CD，
∴∠DMN=∠ANO，
當(dāng)∠DPM=45°時(shí)，△AON∽△DPM，MP=

2

4

，
當(dāng)∠PDM=45°時(shí)，△AON∽△PDM，MP=

5 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角三角形的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)等．解題的關(guān)鍵是注意識(shí)圖，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．