Question

【題目】如圖，已知矩形OABC的一個頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（8，4），反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過OB的中點(diǎn)E，且與邊BC交于點(diǎn)D．

（1）求反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求三角形DOE的面積；

（3）若過點(diǎn)D的直線y=mx+n將矩形OABC的面積分成3：5的兩部分，求此直線解析式．

Answer 1

【答案】(1) 反比例函數(shù)解析式為y=,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)；（2）三角形DOE的面積為6；

(3) y=-2x+8或y=x+.

【解析】

(1)根據(jù)中心對稱求出點(diǎn)E的坐標(biāo), 再代入反比例函數(shù)解析式求出k, 然后根據(jù)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等代入求解即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2) 根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出BD的長, 再由點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)可知,由此可得出結(jié)論;

(3) 設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為F, 根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出CD, 再根據(jù)梯形的面積分兩種情況求出OF的長, 然后寫出點(diǎn)F的坐標(biāo), 再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式即可.

解：(1)矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是(8,4), E是矩形ABCD 的對稱中心,

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,2),代入反比例函數(shù)解析式得=2, 解得k=8,

反比例函數(shù)解析式為y=

點(diǎn)D在邊BC上,點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4,

y=4時, x=2,

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4);

(2)D的坐標(biāo)為(2,4),B(8,4),

BD=6, OC=4.

點(diǎn)E是OB的中點(diǎn),

==6

(3) 如圖,

設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為F,矩形OABC的面積=84=32,

矩形OABC的面積分成3:5的兩部分,

梯形OFDC的面積為=12,或者=20

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4),

若(2+OF)4=12,

解得OF=4,此時點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,0),

若 (2+OF)4=20,

解得OF=8, 此時點(diǎn)F的坐標(biāo)為(8,0),與A點(diǎn)重合，

當(dāng)D(2,4),F(4,0)時,可得函數(shù)解析式為y=-2x+8

當(dāng)D(2,4),F(8,0)時，可得函數(shù)解析式為y=x+

綜上所述,直線的解析式為y=-2x+8或y=x+.