Question

如圖，在平面直角坐標系中，A（-3，0），點C在y軸的正半軸上，BC∥x軸，且BC=5，AB交y軸于點D，OD=

3

2

．
（1）求出C的坐標．
（2）過A，C，B三點的拋物線與x軸交于點E，連接BE，若動點M從點A出發(fā)沿x軸正方向運動，同時動點N從點E出發(fā)，在直線EB上作勻速運動，運動速度為每秒1個單位長度，當運動時間t為多少時，△MON為直角三角形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意首先判斷出△BCD∽△AOD，根據(jù)相似比求出CD的長，進而確定C點的坐標．
（2）首先作BF⊥x軸于點F，則BF=4．根據(jù)拋物線的對稱性及A、C、O點的坐標和勾股定理得到BE、OE、AE的值．再分兩類情況進行討論：①點N在射線EB上：若∠NMO=90°，若∠NOM=90°，∠ONM=90°；②點N在射線EB的方向延長線上：若∠NMO=90°，若∠NOM=90°，∠ONM=90°．最終得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵BC∥x軸，
∴△BCD∽△AOD，
∴

CD

OD

=

BC

AO

，
∴CD=

5

3

×

3

2

=

5

2

，
∴CO=

5

2

+

3

2

，
∴C點的坐標為（0，4）．

（2）如圖1，作BF⊥x軸于點F，則BF=4，
由拋物線的對稱性知EF=3，
∴BE=5，OE=8，AE=11，
根據(jù)點N運動方向，分以下兩種情況討論：
①點N在射線EB上，
若∠NMO=90°，如圖1，則cos∠BEF=

ME

NE

=

FE

BE

，
∴

11-t

t

=

3

5

，
解得t=

55

8

．
若∠NOM=90°，如圖2，則點N和G重合，
∵cos∠BEF=

OE

GE

=

FE

BE

，
∴

8

t

=

3

5

，解得t=

40

3

，
∠ONM=90°的情況不存在．
②點N在射線EB的方向延長線上，
若∠NMO=90°，如圖3，則cos∠NEM=cos∠BEF，
∴

ME

NE

=

FE

BE

，
∴

t-11

t

=

3

5

，解得t=

55

2

，
而∠NOM=90°和∠ONM=90°的情況不存在．
綜上，當t=

55

8

、t=

40

3

或t=

55

2

時，△MON為直角三角形．

點評：此題考查了拋物線解析式的圖象性質(zhì)、勾股定理等重要知識點，其中（2）小題中用到了分類討論的數(shù)學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．