Question

如圖在8×8的正方形網格中建立直角坐標系，已知A（2，4），B（4，2）．C是第一象限內的一個格點，由點C與線段AB組成一個以AB為底，且腰長為無理數的等腰三角形．
（1）填空：C點的坐標是

（1，1）

，△ABC的面積是

4

；
（2）將△ABC繞點C旋轉360°，求出在旋轉過程中線段AB所掃過的面積．

Answer 1

分析：（1）作線段AB的垂直平分線，第一象限內有3個格點，符合條件的只有一個（1，1），再利用面積公式求解即可；
（2）線段AB所掃過的面積是一個圓環(huán)的面積，計算出以點C為圓心以BC為半徑的圓的面積，以點C為圓心，以CD為半徑的圓的面積，相減即可得出答案．

解答：解：（1）

由圖形可得符合題意的點C的坐標為（1，1），
S_△ABC=

1

2

AB×CD=

1

2

×2

2

×2

2

=4．
（2）由（1）得，CA=

10

，CD=2

2

，
線段AB所掃過的面積為：以C為圓心以BC為半徑的圓的面積-以C為圓心以CD為半徑的圓的面積，

S=10π-8π=2π．

點評：此題考查了勾股定理、等腰三角形的性質及旋轉的性質，難點在第二問，關鍵是分析出線段AB掃過的面積的形狀，難度一般．